Многочлен - определение. Что такое Многочлен
Diclib.com
Словарь ChatGPT
Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

  • как употребляется слово
  • частота употребления
  • используется оно чаще в устной или письменной речи
  • варианты перевода слова
  • примеры употребления (несколько фраз с переводом)
  • этимология

Что (кто) такое Многочлен - определение

ФОРМАЛЬНАЯ СУММА ОДНОЧЛЕНОВ
Полином; Полиномы; Трёхчлен; Унитарный многочлен; Многочлены; Делимость многочленов; Нормированный многочлен; Полиномиальная функция; Свободный член
  • График]] многочлена 7 степени.</center>
  • многочленов Бернулли]]</center>
Найдено результатов: 88
многочлен         
м.
Алгебраическое выражение, представляющее собою сумму нескольких одночленов.
многочлен         
МНОГОЧЛ'ЕН, многочленна, ·муж. (мат.). Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов.
МНОГОЧЛЕН         
(полином) , алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Axkyl ...wm где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицат. числа) - постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде аохn + а1хn-1 + ... + аn-1х + аn.
МНОГОЧЛЕН         
алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов.
Многочлен         

полином, выражение вида

Axkyl.....wm + Bxnyp.....wq + ...... + Dxrts.....wt,

где х, у, ..., w - переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты М.) и k, l, ..., t (показатели степеней - целые неотрицательные числа) - ïîñòîÿííûå. Îòäåëüíûå ñëàãàåìûå âèäà Àõkyl.....wm называются членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене - степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

À'õkyl.....wm, B'xkyl.....wm, ....., D'xkyl.....wm

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два М. называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменного х можно всегда записать в виде

P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an,

где a0, a1,..., an - коэффициенты.

Сумму показателей степеней какого-либо члена М. называют степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у - z + 1 есть многочлен первой степени (линейный М.), 5x2 - 2x2 - 3х2 не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. М., все члены которого одинаковой степени, называется однородным М., или формой (См. Форма); формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x2 + y2 + z2 - ху - yz - xz есть тройничная квадратичная форма).

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) - кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

Если для двух многочленов Р(х) и Q(x) можно найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R - частным. Если Р не делится на Q, то можно найти такие многочлены Р(х) и S(x), что Р = QR + S, причём степень S(x) меньше степени Q(x).

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q, т. е. такой делитель Р и Q, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм). М., который можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае - неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R, a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R. Каждый М. степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x4 + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

в поле действительных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел. Вообще каждый М. от одного переменного х разлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; например, многочлен x3 + yz2 + z3 неприводим в любом числовом поле.

Если переменным х, у, ..., w придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то М. также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций (См. Рациональная функция), где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций (См. Алгебраическая функция).

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить М. (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, даёт возможность приближённо выражать М. любую связь между величинами, изучаемую в каком-либо вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в специальных разделах математики (см. Приближение и интерполирование функций, Наименьших квадратов метод).

В элементарной алгебре многочленом иногда называются такие алгебраические выражения, в которых последним действием является сложение или вычитание, например

Лит. : Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965.

А. И. Маркушевич.

ПОЛИНОМ         
(от поли ... и лат. nomen - имя), то же, что многочлен.
Полином         
(от Поли... и лат. nomen - имя)

то же, что Многочлен.

трёхчлен         
м.
Сумма или разность трех алгебраических выражений, называемых одночленами.
полином         
ПОЛИН'ОМ, полинома, ·муж. (от ·греч. poly - много и nomos - часть) (мат.). То же, что многочлен
.
полином         
м.
Многочлен.

Википедия

Многочлен

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от n {\displaystyle n} переменных  x 1 , x 2 , . . . x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}} — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

P ( x 1 , , x n ) = I c I x 1 i 1 x 2 i 2 x n i n {\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} , где
  • I = ( i 1 , i 2 , , i n ) {\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}  — набор из n {\displaystyle n} целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
  • c I {\displaystyle c_{I}}  — число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мультииндекса I {\displaystyle {\mathit {I}}} .

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

P ( x ) = c 0 + c 1 x 1 + + c m x m {\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}} , где
  • c i {\displaystyle c_{i}}  — фиксированные коэффициенты,
  • x {\displaystyle x}  — переменная.

С помощью многочлена вводятся понятия «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число».

Что такое многочлен - определение